Branch-and-Refine zur Lösung zeitabhängiger Probleme

Einer der Standardansätze zur Lösung zeitabhängiger diskreter Optimierungsprobleme, wie z.B. das Problem des Handlungsreisenden mit Zeitfenstern oder das Kürzeste Wege Problem mit Zeitfenstern, ist die Herleitung einer sogenannten zeitindizierten Formulierung. Wenn dem Problem eine Struktur zu Grunde liegt, die durch einen Graphen beschrieben werden kann, basiert die zeitindizierte Formulierung normalerweise auf einem anderen, erweiterten Graphen, der in der Literatur als zeitexpandierter Graph bezeichnet wird. Der zeitexpandierte Graph kann oft so generiert werden, dass alle Zeitbeschränkungen bereits aufgrund seiner Topologie erfüllt sind und somit Algorithmen für die entsprechende zeitunabhängige Variante angewendet werden können. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass die Mengen der Ecken und Bögen des zeitexpandierten Graphen viel größer sind als die des ursprünglichen Graphen. In neueren Arbeiten hat sich jedoch gezeigt, dass für viele praktische Anwendungen eine partielle Expandierung des Graphen, die möglicherweise zeitunmögliche Pfade zulässt, oft ausreicht, um eine beweisbar optimale Lösung zu finden. Diese Ansätze verfeinern iterativ den ursprünglichen Graphen und lösen in jeder Iteration eine Relaxierung der zeitexpandierten Formulierung. Wenn die Lösung der aktuellen Relaxation alle Zeitbeschränkungen erfüllt, kann daraus eine optimale Lösung abgeleitet werden, und der Algorithmus terminiert. In dieser Arbeit stellen wir neue Ideen vor, die das Übertragen von Informationen über die optimale Lösung eines gröberen Graphen zu einem verfeinerten Graphen ermöglichen und zeigen, wie diese in Algorithmen verwendet werden können. Genauer gesagt stellen wir einen neuen Algorithmus zur Lösung von MILP-Formulierungen (Mixed Integer Linear Program) von zeitabhängigen Problemen vor, der es ermöglicht, die Graphenverfeinerung während der Untersuchung des Branch-and-Bound Baums durchzuführen, anstatt jedes Mal neu zu starten, wenn die optimale Lösung sich als nicht zulässig herausgestellt hat. Um die praktische Relevanz dieses Algorithmus zu demonstrieren, präsentieren wir Ergebnisse von numerische Experimenten seiner Anwendung auf das Kürzeste Wege Problem mit Zeitfenstern und das Problem des Handlungsreisenden mit Zeitfenstern.One of the standard approaches for solving time-dependent discrete optimization problems, such as the travelling salesman problem with time-windows or the shortest path problem with time-windows is to derive a so-called time-indexed formulation. If the problem has an underlying structure that can be described by a graph, the time-indexed formulation is usually based on a different, extended graph, commonly referred to as the time-expanded graph. The time-expanded graph can often be derived in such a way that all time constraints are incorporated in its topology, and therefore algorithms for the corresponding time-independent variant become applicable. The downside of this approach is, that the sets of vertices and arcs of the time-expanded graph are much larger than the ones of the original graph. In recent works, however, it has been shown that for many practical applications a partial graph expansion, that might contain time infeasible paths, often suffices to find a proven optimal solution. These approaches, instead, iteratively refine the original graph and solve a relaxation of the time-expanded formulation in each iteration. When the solution of the current relaxation is time feasible an optimal solution can be derived from it and the algorithm terminates. In this work we present new ideas, that allow for the propagation of information about the optimal solution of a coarser graph to a more refined graph and show how these can be used in algorithms, which are based on graph refinement. More precisely we present a new algorithm for solving Mixed Integer Linear Program (MILP) formulations of time-dependent problems that allows for the graph refinement to be carried out during the exploration of the branch-and-bound tree instead of restarting whenever the optimal solution was found to be infeasible. For demonstrating the practical relevance of this algorithm we present numerical results on its application to the shortest path problem with time-windows and the traveling salesman problem with time-windows

Verfeinerungsalgorithmen für zeitabhängige diskrete Optimierungsprobleme

One of the standard approaches for solving discrete optimization problems which include the aspect of time, such as the traveling salesman problem with time windows, is to derive a so-called time-indexed formulation. If the problem has an underlying structure that can be described by a graph, the time-indexed formulation is usually based on a different, extended graph, commonly referred to as the time-expanded graph. The time-expanded graph can often be derived in such a way that all time constraints are incorporated in its topology, and therefore algorithms for the corresponding time-independent variant become applicable. The downside of this approach is that the sets of vertices and arcs of the time-expanded graph are much larger than the ones of the original graph. In recent works, however, it has been shown that for many practical applications a partial graph expansion that might contain time-infeasible paths, often suffices to find a proven optimal solution. These approaches, instead, iteratively refine the original graph and solve a relaxation of the time-expanded formulation in each iteration. When the solution of the current relaxation allows for a feasible schedule, an optimal solution can be derived from it and the algorithm terminates. In this work, we first present new ideas that allow for the propagation of information about the optimal solution of a coarser graph to a more refined graph and show how these can be used in algorithms. More precisely, we present two general algorithms for solving Mixed Integer Linear Program formulations which we call iterative refinement and branch-and-refine. Iterative refinement basically is solving relaxations of the problem until a feasible solution to the original problem is found. Branch-and-refine is a kind of branch-and-bound algorithm that allows for the graph refinement to be carried out during the exploration of the branch-and-bound tree. For demonstrating the practical relevance of these algorithms, we not only study them in the context of academic examples but also apply them to two real-world problems. The first is a problem from the literature, where small passenger air-crafts have to be routed and scheduled to serve flight requests while fulfilling a variety of conditions on, for example, fuel consumption, weight, and detours. We show here that refinement algorithms can be used to improve the best known results from the literature. The second problem we consider is the task of optimally scheduling deliveries and charging times of delivery robots such that delays are minimized. In this case, we show that refinement algorithms perform better than a direct solution approach making use of state-of-the-art solvers.Das Herleiten einer so genannten zeitindizierten Formulierung ist einer der Standardansätze zum Lösen diskreter Optimierungsprobleme, die den Aspekt der Zeit einbeziehen, wie z. B. das Problem des Handlungsreisenden mit Zeitfenstern. Liegt dem Problem eine Struktur zugrunde, die durch einen Graphen beschrieben werden kann, so basiert die zeitindizierte Formulierung in der Regel auf einem anderen, erweiterten Graphen, der gemeinhin als zeitexpandierter Graph bezeichnet wird. Der zeitexpandierte Graph kann oft so konstruiert werden, dass alle zeitlichen Beschränkungen bereits in seine Topologie einfließen und Algorithmen für die entsprechende zeitunabhängige Variante anwendbar werden. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass die Mengen der Knoten und Bögen des zeitexpandierten Graphen viel größer sind als die des ursprünglichen Graphen. In neueren Arbeiten wurde jedoch gezeigt, dass für viele praktische Anwendungen eine partielle Expansion des Graphen, die möglicherweise nicht alle zeitlich unzulässigen Pfade verbietet, oft ausreicht, um eine nachweislich optimale Lösung zu finden. Bei diesem Ansatz wird stattdessen der zeitexpandierte Graph iterativ sukzessive aufgebaut und verfeinert und in jedem Schritt wird eine Relaxierung der zeitexpandierten Formulierung gelöst. Wenn die Lösung der aktuellen Relaxierung einen realisierbaren Zeitplan zulässt, kann daraus eine optimale Lösung abgeleitet werden und der Algorithmus wird beendet. In dieser Arbeit stellen wir zunächst neue Ideen vor, die es ermöglichen, Informationen über die optimale Lösung eines gröberen Graphen auf einen verfeinerten Graphen zu übertragen, und zeigen, wie diese in Algorithmen verwendet werden können. Genauer gesagt stellen wir zwei allgemeine Algorithmen zur Lösung von gemischt-ganzzahligen linearen Programmen vor, die wir als `iterative refinement' und `branch-and-refine' bezeichnen. Bei der iterativen Verfeinerung geht es im Wesentlichen darum, Relaxierungen des Problems zu lösen, bis eine machbare Lösung für das ursprüngliche Problem gefunden wird. Branch-and-refine ist eine Art Branch-and-Bound-Algorithmus, bei dem die Verfeinerung des Graphen während der Erkundung des Branch-and-Bound-Suchbaums durchgeführt wird. Um die praktische Relevanz dieser Algorithmen zu demonstrieren, untersuchen wir ihn nicht nur im Zusammenhang mit akademischen Beispielen, sondern wenden ihn auch auf zwei praktisch motivierte Fragestellungen an. Das erste ist ein Problem aus der Literatur, bei dem die Routen und Zeitpläne kleiner Passagierflugzeuge so geplant werden müssen, dass Fluganfragen von Touristengruppen zu bedienen und dabei eine Vielzahl von Bedingungen zu erfüllen. Die Bedingungen betreffen unter anderem Treibstoffverbrauch, Gewicht und Umwege. Wir zeigen hier, dass Verfeinerungsalgorithmen verwendet werden können, um die besten Ergebnisse aus der Literatur zu verbessern. Das zweite Problem, das wir betrachten, ist die Aufgabe, Lieferungen und Ladezeiten von elektrischen Lieferrobotern optimal zu planen, so dass Verzögerungen minimiert werden. In diesem Fall zeigen wir, dass Verfeinerungsalgorithmen besser abschneiden als ein direkter Lösungsansatz, bei dem ein allgemeiner Löser für gemischt-ganzzahlige Probleme eingesetzt wird

An iterative graph expansion approach for the scheduling and routing of airplanes

A tourism company that offers fly-in safaris is faced with the challenge to route and schedule its fleet of airplanes in an optimal way. Over the course of a given time horizon several groups of tourists have to be picked up at airports and flown to their destinations within a certain time-window. Furthermore the number of available seats, the consumption of fuel, the maximal takeoff weight, and restrictions on the detour of the individual groups have to be taken into account. The task of optimally scheduling the airplanes and tour groups belongs to the class of vehicle routing problems with pickup and delivery and time-windows. A flow-over-flow formulation on the time expanded graph of the airports was used in the literature in order to model this problem as a mixed integer linear program. Most of the benchmark problems however could not be solved within a time limit of three hours, which was overcome by formulating the problem for a simplified (time-free) graph and the use of an incumbent callback to check for feasibility in the original graph. While this approach led to very good results for instances, where few time-free solutions were infeasible for the original problem, some instances remained unsolved. In order to overcome this problem we derive two new exact formulations that include time as variables. Although these formulations by themselves are not better than the approach from the literature, they allow for an effective construction of graphs which can be interpreted as intermediate graphs between the graph of airports and the expanded graph with vertices for each visit. Using similar relaxation techniques to the time-free approach and constructing these graphs based on solutions of the relaxations guarantees that only critical airports are expanded. A computational study was performed in order to compare the new formulations to the methods from the literature. Within a time limit of 3 hours the new approach was able to find proven optimal solutions for all previously unsolved benchmark instances. Furthermore the average computation time of all benchmark instances was reduced by 90 percent.Ein Reiseunternehmen, das Fly-in Safaris anbietet, stellt sich die Aufgabe, seine Flottenrouten und deren Zeitplanung optimal zu gestalten. In einem feststehenden Zeitraum müssen mehrere Touristengruppen unter Einhaltung von Fristen von ihrem aktuellen Aufenthaltsort per Flugzeug abgeholt und zu ihrem nächsten Zielflughafen geflogen werden. Weiterhin muss Rücksicht auf die beschränkte Anzahl von Sitzen, den Treibstoffverbrauch, das maximale Startgewicht und Bedingungen an die Umwege der einzelnen Gruppen genommen werden. Die Aufgabe, die Routen der Flugzeuge festzulegen und zeitlich zu planen, gehört zur Problemklasse der Vehicle Routing Probleme mit Pickup und Delivery und Zeitfenstern. Eine Flow-over-Flow Formulierung auf dem zeitexpandierten Graphen der Flughäfen wurde in der Literatur benutzt, um dieses Problem als gemischt-ganzzahliges lineares Programm zu formulieren. Allerdings konnten die meisten Benchmarkprobleme nicht innerhalb von einem Zeitlimit von drei Stunden gelöst werden, was dadurch behoben wurde, dass das Problem für einen vereinfachten (zeitfreien) Graphen formuliert und ein Incumbent Callback zum Überprüfen der Zulässigkeit für den ursprünglichen Graphen implementiert wurde. Während dieser Ansatz sehr gute Resultate für Probleminstanzen lieferte, bei denen nur wenige zeitfreie Lösungen für das ursprüngliche Problem unzulässig waren, blieben einige Instanzen ungelöst. Um dies zu verbessern, leiten wir zwei neue exakte Formulierungen her, die den Aspekt der Zeit als Variablen beinhalten. Obwohl diese Formulierungen für sich genommen nicht besser sind als der zeitfreie Ansatz aus der Literatur, erlauben sie eine effektive Konstruktion von Graphen, die als Zwischenstufen vom Graphen der Flughäfen und dem expandierten Graphen mit Knoten für jede Ankunft angesehen werden können. Die Benutzung von ähnlichen Relaxationstechniken wie im zeitfreien Ansatz und das Aufbauen dieser Graphen anhand von Lösungen der Relaxierungen garantiert, dass nur kritische Knoten expandiert werden. Eine Rechenstudie wurde durchgeführt, um die neuen Formulierungen mit den Methoden aus der Literatur zu vergleichen. Innerhalb eines Zeitlimits von drei Stunden war der neue Ansatz in der Lage, alle vorher ungelösten Benchmarkproblem bis zur beweisbaren Optimalität zu lösen. Außerdem wurde die durchschnittliche Rechenzeit um 90 Prozent reduziert

A solution framework for linear PDE-constrained mixed-integer problems

We present a general numerical solution method for control problems with PDE-defined state variables over a finite set of binary or continuous control variables. We show empirically that a naive approach that applies a numerical discretization scheme to the PDEs (and if necessary a linearization scheme) to derive constraints for a mixed-integer linear program (MILP) leads to systems that are too large to be solved with state-of-the-art solvers for MILPs, especially if we desire an accurate approximation of the state variables. Our framework comprises two techniques to mitigate the rise of computation times with increasing discretization level parameters: First, the linear system is solved for a basis of the control space in a preprocessing step. Second, certain constraints are just imposed on demand via the IBM ILOG CPLEX feature of a lazy constraint callback. These techniques are compared with an approach where the relations obtained by the discretization of the continuous constraints are directly included in the MILP. We demonstrate our approach on two examples: modeling of the spread of wildfire and the mitigation of water contamination. In both examples the computational results demonstrate that the solution time is significantly reduced by our methods. In particular, the dependence of the computation time on the size of the spatial discretization of the PDE is significantly reduced.Wir präsentieren eine allgemeine numerische Lösungsmethode für Steuerungsprobleme mit PDE-definierten Zustandsvariablen über einer endlichen Menge von binären oder kontinuierlichen Steuerungsvariablen. Wir zeigen empirisch, dass ein naiver Ansatz, der ein numerisches Diskretisierungsschema auf die PDEs anwendet (und erforderlichenfalls ein Linearisierungsschema), um Nebenbedingungen für ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm (MILP) abzuleiten, zu Systemen führt, die zu groß sind, um selbst mit modernen MILP-Lösern gelöst zu werden, insbesondere wenn eine genaue Approximation der Zustandsvariablen gewünscht ist. Unser Ansatz umfasst zwei Techniken, um den Anstieg der Rechenzeiten mit zunehmender Feinheit der Diskretisierung abzumildern: Erstens wird das lineare System in einem Vorverarbeitungsschritt in den Variablen des Kontrollraums gelöst. Zweitens werden bestimmte Einschränkungen nur bei Bedarf über die IBM ILOG CPLEX-Funktion einer verzögerten Nebenbedingungs-Generierung zur Instanz hinzugefügt. Diese Techniken werden mit einem Ansatz verglichen, bei dem die durch die Diskretisierung der kontinuierlichen Nebenbedingungen erhaltenen Beziehungen direkt in das MILP einbezogen werden. Wir zeigen unseren Ansatz an zwei Beispielen: Modellierung der Ausbreitung eines Waldbrands und Minderung einer Wasserverschmutzung. In beiden Beispielen zeigen die Berechnungsergebnisse, dass die Lösungszeit durch unsere Methoden erheblich verkürzt wird. Insbesondere wird die Abhängigkeit der Rechenzeit von der Größe der räumlichen Diskretisierung der PDE deutlich reduziert

Ein geschichteter 2D Graphen Ansatz für die Ablaufplanung von Lieferrobotern

In recent years parcel volumes reached record highs. The logistics industry is seeking new innovative concepts to keep pace. For densely populated areas delivery robots are a promising alternative to conventional trucking. These electric robots drive autonomously on sidewalks and deliver urgent goods, such as express parcels, medicine, or meals. The limited cargo space and battery capacity of these vehicles necessitates a depot visit after each customer served. The problem can be formulated as an electric vehicle routing problem with soft time windows and a single unit capacity. The goal is to serve all customers such that the quadratic sum of delays is minimized and each vehicle operates within its battery bounds. To solve this problem, we formulate an MIQP and present an expanded formulation based on a layered graph. For this layered graph we derive two solution approaches based on relaxations, which use less nodes and arcs. The first, Iterative Refinement, always solves the current relaxation to optimality and refines the graph if the solution is not feasible for the expanded formulation. This is repeated until a proven optimal solution is found. The second, Branch and Refine, integrates the graph refinement into a branch and bound framework avoiding restarts. Computational experiments performed on modified Solomon instances demonstrate the advantage of using our solution approaches and show that Branch and Refine outperforms Iterative Refinement in all studied parameter configurations.In den letzten Jahren erreichte das Paketvolumen Rekordhöhen. Die Logistikbranche sucht nach neuen innovativen Konzepten, um Schritt zu halten. Für dicht besiedelte Gebiete sind Lieferroboter eine vielversprechende Alternative zum konventionellen LKW-Transport. Diese elektrischen Roboter fahren autonom auf Bürgersteigen und liefern Waren wie Expresspakete, Medikamente oder Mahlzeiten aus. Der begrenzte Laderaum und die begrenzte Batteriekapazität dieser Fahrzeuge erfordern nach jedem Kunden einen Depotbesuch. Das Problem kann als Routingproblem für Elektrofahrzeuge mit weichen Zeitfenstern und einer Kapazität von einer einzelnen Einheit formuliert werden. Ziel ist es, alle Kunden so zu bedienen, dass die quadratische Summe der Verspätungen minimiert wird und jede Fahrzeugroute innerhalb der Batterieladungsgrenzen liegt. Um dieses Problem zu lösen, formulieren wir einen MIQP und präsentieren eine erweiterte Formulierung basierend auf einem geschichteten Graphen. Für diesen geschichtete Graphen leiten wir zwei Lösungsansätze ab, die auf Relaxationen basieren und weniger Knoten und Bögen verwenden. Der erste, iterative Verfeinerung, löst die aktuelle Relaxation immer optimal und verfeinert den Graphen, wenn die erweiterte Formulierung keine zulässige Lösung enthält. Dies wird wiederholt, bis eine optimale Lösung gefunden ist. Die zweite Option, Verzweigen und Verfeinern, integriert die Graphenverfeinerung in einen Verzweige und Beschränke Rahmen, um Neustarts zu vermeiden. Computerexperimente, die an modifizierten Solomon-Instanzen durchgeführt wurden, zeigen den Vorteil der Verwendung unserer Lösungsansätze und zeigen, dass Verzweigen und Verfeinern die iterative Verfeinerung in allen untersuchten Parameterkonfigurationen übertrifft